😊 Ecuaciones Cuadráticas 😊

Un ejemplo de una Ecuación Cuadrática:

Las Ecuaciones Cuadráticas hacen curvas bonitas, como ésta:

Nombre

La palabra cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x²).

También se les llama "Ecuaciones de Segundo Grado" (debido al "2" sobre la x).

Forma estándar

La Forma estándar de una Ecuación Cuadrática se ve parecida a esto:

• a, b y c son valores conocidos. a no puede ser 0.

• "x" es la variable o incógnita (todavía no sabemos su valor).

 

Aquí unos ejemplos:

2x2 + 5x + 3 = 0		En ésta a=2, b=5 y c=3
x2 − 3x = 0		Ésta es diferente: ¿Dónde está la a? Bueno, a=1, dado que normalmente no escribimos "1x2" b = −3 ¿Y la c? Bueno, c=0, por lo que no se muestra.
5x − 3 = 0		¡Ups! Ésta no es una ecuación cuadrática: le falta x2 (en otras palabras, si a=0, entonces la ecuación no es cuadrática)

¡Ecuaciones Cuadráticas Disfrazadas!

Como vimos antes, la Forma Estándar de una Ecuación Cuadrática es

ax² + bx + c = 0

¡Pero a veces una ecuación cuadrática se ve diferente!

Por ejemplo:

Cuadrática Disfrazada		En Forma Estándar	a, b y c
x2 = 3x − 1	Mueve todos los términos a la izquierda	x2 − 3x + 1 = 0	a=1, b=−3, c=1
2(w2 − 2w) = 5	Desarrolla (quita los paréntesis), y mueve el 5 a la izquierda	2w2 − 4w − 5 = 0	a=2, b=−4, c=−5
z(z−1) = 3	Desarrolla y mueve el 3 a la izquierda	z2 − z − 3 = 0	a=1, b=−1, c=−3

¿Cómo encontramos la solución?

Las "soluciones" de una Ecuación Cuadrática son los valores donde la ecuación es igual a cero.

También se les llama "raíces", o incluso "ceros".

 

Normalmente hay 2 soluciones (como se muestra en la gráfica).

 

Y hay diferentes métodos para encontrar las soluciones:

Podemos Factorizar (encontrar qué es lo que hay que multiplicar para generar la ecuación cuadrática).

O podemos Completar el trinomio.

O podemos usar la famosa Fórmula Cuadrática ó Fórmula General de Ecuaciones Cuadráticas:

Tan solo pon los valores de a, b y c, y haz las operaciones.

Veremos este método con mayor detalle a continuación.

Acerca de la Fórmula Cuadrática

Más/Menos

Primero que nada, ¿qué es ese símbolo de más/menos que se ve así ± ?

El signo ± significa que hay DOS respuestas:

x = −b + √(b² − 4ac)2a

x = −b − √(b² − 4ac)2a

Aquí hay un ejemplo con dos respuestas:

¡Pero no siempre se ve así!

• Imagina si la curva "solo toca" el eje-x.
• ¡O imagina que la curva está tan arriba que ni siquiera cruza al eje-x!

Es aquí cuando el "Discriminante" nos ayuda ...

Discriminante

¿Ves la parte donde dice b² − 4ac en la fórmula de arriba? Se llama Discriminante, porque puede "discriminar" entre los posibles tipos de respuesta:

• cuando b² − 4ac es positivo, obtenemos dos soluciones reales.
• si es cero, sólo hay UNA solución real (en realidad las dos soluciones son la misma)
• cuando es negativo, obtenemos un par de soluciones complejas.

¿Soluciones complejas? Hablaremos de ellas después de que aprendamos a usar la fórmula.

El uso de la Fórmula Cuadrática

Para resolverla, solo pon los valores de a, b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: Resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Los coeficientes son:a = 5, b = 6, c = 1

Fórmula cuadrática:x = −b ± √(b² − 4ac)2a

Pon los valores de a, b y c.x = −6 ± √(6² − 4×5×1)2×5

Resuelve:x = −6 ± √(36 − 20)10

 x = −6 ± √(16)10

 x = −6 ± 410

 x = −0.2 ó −1

 

Respuesta: x = −0.2 o x = −1

 

Las podemos ver en esta gráfica

Comprobación -0.2:		5×(−0.2)2 + 6×(−0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(−0.2) + 1 = 0.2 − 1.2 + 1 = 0
Comprobación -1:		5×(−1)2 + 6×(−1) + 1 = 5×(1) + 6×(−1) + 1 = 5 − 6 + 1 = 0

¿Soluciones Complejas?

Cuando el discriminante (el valor de b² − 4ac) es negativo obtenemos un par de respuestas Complejas ... ¿Qué significa eso?

Significa que nuestra respuesta incluye Números Imaginarios ¡Wow!

Ejemplo: Resuelve 5x² + 2x + 1 = 0

Los coeficientes son: a=5, b=2 y c=1.

Observa que el discriminante es negativo: b2 − 4ac = 22 − 4×5×1 = -16.

Usa la fórmula cuadrática: 

x = −2 ± √(−16)10
√(−16) = 4i
(donde i es el número imaginario √−1)

Por lo tanto:x = −2 ± 4i10

Respuesta: x = −0.2 ± 0.4i

 

La curva no cruza al eje-x. Ésa es la razón por la que vemos números complejos en la respuesta.

De cierta forma es un poco más fácil: ya no necesitamos hacer más operaciones, solo dejamos la respuesta como −0.2 ± 0.4i.

Ejemplo: Resuelve x² − 4x + 6.25 = 0

Los coeficientes son:a=1, b=−4, c=6.25

Observa que el discriminante es negativo:b² − 4ac = (−4)² − 4×1×6.25
              = −9

Usa la fórmula cuadrática:x = −(−4) ± √(−9)2

√(−9) = 3i

(donde i es el número imaginario √−1)

Nos queda:x = 4 ± 3i2

Respuesta: x = 2 ± 1.5i

 

La curva no cruza al eje-x. Ésa es la razón por la que vemos números complejos en la respuesta.

PERO una imagen espejo arriba/abajo de nuestra ecuación sí que cruza el eje-x en 2 ± 1.5 (nota: no hay i).

¡Un dato interesante para ti!

Resumen

• Ecuación Cuadrática en Forma Estándar: ax² + bx + c = 0
• Las ecuaciones cuadráticas pueden ser factorizadas.
• Fórmula Cuadrática: x = −b ± √(b² − 4ac)2a
• Cuando el Discriminante (b²−4ac) es:
• Positivo, hay 2 soluciones reales.
• Cero, hay 1 solución real.
• Negativo, hay 2 soluciones complejas.

*** Actividad ***

Una vez que haz leído el texto, puedes apoyarte en el siguiente tutorial y después contestar la actividad del link. En la cual debes responder el ejercicio y enviar como evidencia una captura de pantalla o fotografía en Teams y describir tu experiencia junto con tu calificación en los comentarios. :)

Para realizar la actividad da clic aquí

Mínimo común múltiplo

 

¿Cómo obtener el mínimo común múltiplo?

Para obtener el mcm es recomendable trazar una línea vertical en donde, a la izquierda de la línea están los números o el número del cual queremos obtener el mínimo común múltiplo.

A la derecha de la línea vamos a poner el número primo que va a dividir al número del cual queremos obtener el mcm.

Conoce más sobre: “Números primos”. →

Vamos a realizar un ejemplo simple, únicamente se requiere obtener el mcm de un número, calculando el mcm de 18, a continuación se muestra paso a paso para resolver el problema:

1. Primeramente se traza una línea vertical y a la izquierda vamos a colocar el número del cual queramos obtener el mcm, en este caso es el 18, es muy importante tener un orden.

   18   

         

         

         

   Nota: Se trazó una línea tipo guión para poder visualizar cada etapa de las operaciones.

2. Se comprueba si el número a analizar es divisible entre 2, si es divisible entonces ponemos el número 2 a la derecha de la línea y debajo de 18 ponemos el resultado de la división.

   18  2

     9  

         

         

3. Nuevamente debemos comprobar si el número a analizar, ahora 9, es divisible entre 2, ya que no es divisible entonces proseguimos al siguiente número primo que corresponde a 3, ya que 9 si es divisible entre 3 podemos proseguir con el análisis.

   18  2

     9  3

     3  

         

4. Nuevamente verificamos si el número a analizar, ahora 3, es divisible entre 3, ya que si es divisible entonces proseguimos con el análisis.

   18  2

     9  3

     3  3

     1  

5. Cuando el número a analizar es 1 significa que ya podemos obtener el mcm considerando una multiplicación de los números que están a la derecha de la línea.2 x 3 x 3 = (18) ← mcm

   Nota:Como únicamente estamos obteniendo el mcm de un número, el resultado de la operación va a ser el mismo número, por lo tanto, el mcm de 18 es 18.

Ejemplos:

A)

20  2

10  2

  5  5

  1  

 
B)

7  7

1  

 
C)

25  5

  5  5

  1  

 
D)

16  2

  8  2

  4  2

  2  2

  1  

El mcm sería:
A) 2 x 2 x 5 = 20
B) 7
C) 5 x 5 = 25
D) 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Ejercicios:

¿Cuál es el mínimo común múltiplo? mcm = ?
A) 
9    = ?
 
B) 
16    = ?
 
C) 
45    = ?
 
D) 
82    = ?

Vamos a realizar otro ejemplo de 2 o más números de los cuales se requiera obtener el mínimo común múltiplo, el procedimiento es el mismo que para un número. Considerando como ejemplo obtener el mcm de 5 y 4.

1. Primeramente debemos hacer el trazado de una línea vertical y poner una separación entre los números a analizar.

   5    4  

             

             

             

   Nota: Se trazó una línea tipo guión para poder visualizar cada etapa de las operaciones.

2. Se comprueba si los números a analizar son divisibles entre 2, observamos que el 5 no puede dividirse entre dos ya que no se obtiene un número entero, pero el número 4 si se puede dividir entre 2, por lo tanto, el número 5 se vuelve a colocar en la siguiente fila y con el número 4 efectuamos la división correspondiente.

   5    4  2

   5    2  

             

             

3. Nuevamente debemos comprobar si el número a analizar, ahora 5 y 2, son divisibles entre 2, nuevamente el 5 no es divisible entre dos pero al número 2 si lo podemos dividir entre 2.

   5    4  2

   5    2  2

   5    1  

             

4. Nuevamente verificamos si el número a analizar, ahora 5 y 1, son divisibles entre 2, como uno de los números a analizar ya llegó a 1 únicamente nos concentraremos en el número 5, ya que 5 no es divisible entre 2 pasamos al siguiente número primo que es 3, pero 5 tampoco es divisible entre 3, ya que 5 es un número primo entonces vamos a dividir entre 5.

   5    4  2

   5    2  2

   5    1  5

   1    1  

5. Cuando los números a analizar sean 1 ya es posible obtener el mcm considerando una multiplicación de los números a la derecha de la línea.2 x 2 x 5 = 20Por lo tanto, el mcm de 5 y 4 es 20.

Ejemplos:

A)

8    6  2

4    3  2

2    3  2

1    3  3

1    1  

 
B)

15    18  2

15      9  3

  5      3  3

  5      1  5

  1      1  

 
C)

24    33  2

12    33  2

  6    33  2

  3    33  3

  1    11  11

  1      1  

 
D)

39    17  3

13    17  13

  1    17  17

  1      1  

El mcm sería:
A) 2 x 2 x 2 x 3 = 24
B) 2 x 3 x 3 x 5 = 90
C) 2 x 2 x 2 x 3 x 11 = 264
D) 3 x 13 x 17= 663

El mínimo común múltiplo


m.c.m.

 Mínimo Común Múltiplo (m.c.m)   y    Máximo Común Divisor (M.C.D.)